- Determinar la velocidad y aceleración
Para los matemáticos de la época resultaba claro que la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido no brindaba la velocidad de un cuerpo cuya velocidad se sabía variaba en cada instante. De la misma manera, con una velocidad variable no se podía calcular la distancia recorrida con la formula, multiplicando la velocidad por el tiempo.
- Encontrar la tangente a una curva en un punto.
Este es el segundo problema. Resolver este asunto es importante, por ejemplo, si se quería determinar una dirección de un cuerpo cuya trayectoria se puede describir por una curva y una ecuación matemática. Calcular rectas tangentes y normales a curvas también tenía para los desarrollos en la descripción de las leyes del comportamiento de la luz y, en partículas, del diseño de lentes y también era asunto que nacía de la evolución propia de la nueva geometría que describía las curvas con coordenadas.
El problema de la tangente aplica para una curva suave y se puede resumir de este modo. Dada una curva descrita por una función F, y un punto de la curva arbitrario llamado P, debemos encontrar una ecuación para una recta que pase por el punto P, y no vuelva a tocar la curva.
Recta tangente
- Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.
Otro de los asuntos planteados era encontrar el máximo y mínimo de una función. Por ejemplo, si se tenía una ecuación que describía el movimiento de un planeta alrededor del sol, resultaba de interés calcular las distancias máxima y mínima que asumía el planeta en su movimiento traslacional. Otro ejemplo, calcular la inclinación de un cañón para que una bala golpee a la máxima distancia posible. Este último es un asunto de Galileo, lo resolvió a principios del siglo XVII, determinando que debía ser 45° (en el vacío); también estudio otros asuntos relacionados, pero no poseía un resultado en general.
- Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
El cuarto problema consiste en encontrar las longitudes de una curva, áreas y volúmenes determinadas por curvas o superficies, y centros de gravedad de cuerpos. Por ejemplo, dada una curva que describía el movimiento de un planeta, ¿Cómo calcular la distancia recorrida o el área “barrida” por el planeta en un intervalo definido? Este último problema es el de mayor “edad” pues de formas diferentes fue abordado desde la antigüedad. Podemos describir que antes del siglo XVII, calcular áreas, longitudes y volúmenes era el asunto que más resultados género (con relación a los temas del cálculo). Los otros asuntos (velocidades instantáneas, tangentes, máximos y mínimos) empezaron a tener sentido y a ocupar la atención de los matemáticos en los siglos XVI y XVII, especialmente con métodos algebraicos.
